數(shù)模轉(zhuǎn)換過程中的頻譜失真及其校正方法
1 數(shù)模轉(zhuǎn)換器（D／A）的數(shù)學(xué)模型［1］
設(shè)數(shù)字化信號(hào)處理系統(tǒng)的原始模擬輸入信號(hào)為xa（t），經(jīng)過沖激采樣，得到理想采樣信號(hào)
式（1—1）中T為采樣的時(shí)間間隔。
（ω）是xa（ω）的周期重復(fù)，重復(fù)周期為采樣角頻率ωs。若模擬信號(hào)xa（t）＝sinω0t，采樣信號(hào)
及其頻譜如圖1—1a、圖1—1 b所示。圖中，信號(hào)頻率為0．1ωs，其它對(duì)稱于ωs、2ωs、3ωs等處的頻率成分為基帶信號(hào)的鏡象和諧波，幅值和基帶信號(hào)相同。如將采樣信號(hào)恢復(fù)為模擬信號(hào)，僅需濾除這些鏡象和諧波，保留基帶信號(hào)即可。在實(shí)際系統(tǒng)中，理想采樣信號(hào)通過A／D轉(zhuǎn)換器在t＝nT時(shí)刻量化為數(shù)據(jù)序列x（n），經(jīng)D／A轉(zhuǎn)換器輸出，波形如圖1—2a所示。圖中波形可以看作是一系列矩形脈沖的順序排列組合，每一個(gè)矩形脈沖是D／A轉(zhuǎn)換器對(duì)輸入數(shù)據(jù)的沖激響應(yīng)，故D／A轉(zhuǎn)換器的單位沖激響應(yīng)為一高度為1，寬度為T的矩形脈沖，表示為
式（1-3）中，u(t-T)分別為t=0和t=T時(shí)刻的單位階躍函數(shù)。由此，D／A轉(zhuǎn)換器的輸出波形可由下式表達(dá)
D／A轉(zhuǎn)換器的頻率響應(yīng)函數(shù)H（jω）為式（1—3）的傅里葉變換，即
當(dāng)以時(shí)間間隔T向D／A轉(zhuǎn)換器傳遞數(shù)據(jù)序列x（n）時(shí)，可以認(rèn)為式（1—1）所示的理想采樣信號(hào)作用在D／A轉(zhuǎn)換器的輸入端，其輸出信號(hào)的頻譜幅值為
D／A轉(zhuǎn)換器的頻率響應(yīng)函數(shù)H（jω）為式（1—3）的傅里葉變換，即
當(dāng)以時(shí)間間隔T向D／A轉(zhuǎn)換器傳遞數(shù)據(jù)序列x（n）時(shí)，可以認(rèn)為式（1—1）所示的理想采樣信號(hào)作用在D／A轉(zhuǎn)換器的輸入端，其輸出信號(hào)的頻譜幅值為
和H（ω）的圖形分別如圖1—2b中實(shí)線和虛線所示。與圖1—1b中采樣信號(hào)的頻譜對(duì)比，D／A轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于一種非理想的低通濾波器。雖然不同程度地濾除了高頻端的諧波分量，但在
的有效頻帶內(nèi)，濾波器的增益隨著頻率的增高而下降，造成信號(hào)的頻譜失真。 2 D／A轉(zhuǎn)換過程中頻譜失真的校正方法
針對(duì)D／A轉(zhuǎn)換器的頻響特性，校正網(wǎng)絡(luò)在0～
頻帶內(nèi)應(yīng)是一個(gè)高頻提升網(wǎng)絡(luò)。其頻響函數(shù)直接由式（1—6）導(dǎo)出
式（2—1）中略去了H（ω）的系數(shù)T。文中利用FIR型數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)式（2—1）的校正特性。
FIR型數(shù)字濾波器的頻率采樣設(shè)計(jì)法可以實(shí)現(xiàn)任意的頻率響應(yīng)特性。其基本的設(shè)計(jì)思想是對(duì)理想頻響特性Hd（ω）進(jìn)行頻率取樣，然后對(duì)取樣值進(jìn)行離散頻率、離散時(shí)間的傅里葉反變換，獲得濾波器的單位沖激響應(yīng)h（n）。而濾波器計(jì)算公式為h（n）與輸入序列x（n）的離散卷積運(yùn)算。
對(duì)于式（2—1）所示的理想特性，濾波器的單位沖激響應(yīng)為
濾波器的輸出公式為
將單位沖激響應(yīng)h（n）進(jìn)行一次離散時(shí)間、連續(xù)頻率的傅里葉正變換，就得到連續(xù)頻率變量的濾波器頻響函數(shù)
取M＝20，由式（2—3）計(jì)算濾波器的沖激響應(yīng)h(n)如圖2-1a所示。由式（2-6）計(jì)算0～范圍內(nèi)的濾波器頻響特性如圖2—1b所示，其中虛線為D／A轉(zhuǎn)換器的頻響特性。將式（2—6）與式（1—6）相乘，得校正后0～3ωs范圍內(nèi)濾波器和D／A轉(zhuǎn)換器的總頻響曲線，如圖2—1c所示，其通帶波動(dòng)不超過1‰。
為檢驗(yàn)實(shí)際校正的結(jié)果，設(shè)模擬輸入信號(hào)為雙頻信號(hào)
分別為1Hz和10Hz。取采樣頻率為25Hz，令采樣并量化的序列x（n）經(jīng)式（2—4）校正運(yùn)算后再由D／A轉(zhuǎn)換器輸出，則恢復(fù)的波形頻譜如圖2—1d所示。由圖2—1可見，在0
的頻率范圍內(nèi)，頻譜已得到精確的校正，原始信號(hào)兩個(gè)頻率成分在經(jīng)過A／D和D／A轉(zhuǎn)換后能夠保持精確的相等。
3 結(jié)束語
D／A轉(zhuǎn)換器是一個(gè)數(shù)字模擬混合器件。但在分析中，將以相等時(shí)間間隔鎖定到D／A轉(zhuǎn)換器的數(shù)據(jù)序列看作是理想采樣信號(hào)，從而導(dǎo)出了D／A轉(zhuǎn)換器的幅頻特性式（1—6）。說明了D／A轉(zhuǎn)換器可以看作是一種特殊的模擬低通濾波器。又根據(jù)式（1—6），直接寫出校正網(wǎng)絡(luò)理想化的傳遞特性式（2—1），由此利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR校正濾波器，具有理想的頻譜校正效果。
范圍內(nèi)的濾波器頻響特性如圖2—1b所示，其中虛線為D／A轉(zhuǎn)換器的頻響特性。將式（2—6）與式（1—6）相乘，得校正后0～3ωs范圍內(nèi)濾波器和D／A轉(zhuǎn)換器的總頻響曲線，如圖2—1c所示，其通帶波動(dòng)不超過1‰。為檢驗(yàn)實(shí)際校正的結(jié)果，設(shè)模擬輸入信號(hào)為雙頻信號(hào)
分別為1Hz和10Hz。取采樣頻率為25Hz，令采樣并量化的序列x（n）經(jīng)式（2—4）校正運(yùn)算后再由D／A轉(zhuǎn)換器輸出，則恢復(fù)的波形頻譜如圖2—1d所示。由圖2—1可見，在0
的頻率范圍內(nèi)，頻譜已得到精確的校正，原始信號(hào)兩個(gè)頻率成分在經(jīng)過A／D和D／A轉(zhuǎn)換后能夠保持精確的相等。 3 結(jié)束語
D／A轉(zhuǎn)換器是一個(gè)數(shù)字模擬混合器件。但在分析中，將以相等時(shí)間間隔鎖定到D／A轉(zhuǎn)換器的數(shù)據(jù)序列看作是理想采樣信號(hào)，從而導(dǎo)出了D／A轉(zhuǎn)換器的幅頻特性式（1—6）。說明了D／A轉(zhuǎn)換器可以看作是一種特殊的模擬低通濾波器。又根據(jù)式（1—6），直接寫出校正網(wǎng)絡(luò)理想化的傳遞特性式（2—1），由此利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR校正濾波器，具有理想的頻譜校正效果。
文章版權(quán)歸西部工控xbgk所有，未經(jīng)許可不得轉(zhuǎn)載。
服務(wù)咨詢